PROBABILIDADES

Probabilidades e informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do contexto.que representa uma série de eventos futuros cuja ocorrência é definida por alguns fenômenos físicos aleatórios. Este conceito pode ser dividido em fenômenos físicos que são previsíveis através de informação suficiente e fenômenos que são essencialmente imprevisíveis.

 EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS

     Consideramos experimentos aleatório os fenômenos que apresentam resultados imprevisíveis quando repetidos, mesmo que as condições sejam semelhantes.
Exemplos:
a) Lançar 2 moedas e observar as faces voltadas para cima.
b) Retirar 1 carta de 1 baralho com 52 cartas e observar o seu naipe.
c) De uma urna contendo 4 bolas brancas e 5 vermelhas, retirar 1 bola e observar sua cor.

ESPAÇO AMOSTRAL

Exemplos:
Quando se lançam-se 2 moedas e se observam as faces voltadas para cima, sendo as faces da moeda cara(C) e coroa(K), o espaço amostral do experimento é:
S = {(c,c);(c,k);(k,k);(k,c)}
n(S)= é igual a 4.

EVENTO

Evento (E) é qualquer subconjunto de um espaço amostral S. Muitas vezes um evento pode ser caracterizado por um fato.
Exemplos:
1. No lançamento de 2 moedas:

E₁: aparecerem faces iguais

E₁: {(c,c),(k,k)}

Portanto, o número de elementos do evento E₁ é n(E₁) = 2

E₂: aparece cara em pelo menos 1 face

E₂: {(c,c),(c,k),(k,c)},  onde n(E₂) = 3

b) No lançamento não simultâneo de dois dados:

E₁: aparecem números iguais.

E₁= {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}, n(E₁) = 6

E₂: o primeiro número é menor ou igual a 2.

E₂= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}

EXERCÍCIO

No lançamento simultâneo de 3 moedas determine:
a) espaço amostral S,        sendo c=cara e k=coroa 
    S = { (c,c,c),(c,c,k),(c,k,c),(k,c,c),(c,k,k),(k,c,k),(k,k,c),(k,k,k)}

 

b) Evento E₁ sair duas caras e uma coroa.

E₁ = {(c,k,c),(c,c,k),(k,c,c)},    n(E₁)=3

c) evento E₂ sair três caras

E₂ = {(c,c,c)}, n(E₂)=1

d) evento E₃ sair pelo menos uma cara.

{(c,c,c),(c,k,c),(c,c,K),(k,c,c,),(c,k,k,),(k,c,k),(k,k,c)},  n(E₃)=7

e) evento E₄ sair no máximo duas coroas.

E₄ = {(c,k,c),(c,c,k),(k,c,c),(c,k,k),(,k,c,k),(k,k,c),(c,c,c)},  n(E₄)=7

PROBABILIDADES

Considerando um espaço amostral S, não-vazio, e um evento E contido em S a probabilidade de ocorrer o evento E é o número real p(E), tal que.

n(E) = n(E)/n(S)

n(E): números de elementos do evento E.

n(S): numero de elementos do espaço amostral S.

Exemplo.

Lançando-se um dado, qual a probabilidade de sair um numero ímpar na face voltada para cima?

S = {1,2,3,4,5,6},      n(S) = 6

E = {1,3,5},              n(E) = 3

p (E) = n(E)/n(S);       p(E)=3/6= ½ ou 50%

Exercícios

1. Um casal planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de os 3 serem do mesmo sexo?

2. João lança um dado sem que antonio veja. João diz que o número mostrado pelo dado é par. A probabilidade de Antonio descobrir esse número é?

a) 1/2          b)1/6          c)4/6          d)1/3           e)3/36 

UNIÃO DE DOIS EVENTOS

     Considerando A e B dois eventos contidos em um espaço amostral S, o número de elementos da reunião de A com B é igual ao número de elementos do evento A somado ao número de elementos de evento B, subtraido do número de elementos da intersecção de A com B.

n(AUB) = n(A) + N(B) – n(A∩B)

sendo n(S) o número de elementos do espaço amostral, vamos dividir os dois membros da equação por n(S) a fim de obter a probabilidade p(A   B).

p(AUB) = p(A) + p(B) – p(A∩B);

para um evento mutuamente exclusivo: p(AUB)= p(A) +p(B)

Exemplo

De uma urna com 20 bolinhas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bolinha. Qual a probabilidade dessa bolinha ter seu número divisível por 2 ou por 3?

S = { 1,2,3,...,20}

A: conjunto dos números divisíveis por 2.

A = { 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

B: conjunto dos números divisíveis por 3.

B = { 3;6;9;12;15;18}

A∩B: conjunto dos números divisíveis por 2 e 3.

(A∩B);= { 6,12,18}

p (A) = 10/20,  p(B)=6/20 e p(A∩B)=3/20

p(AUB)=10/20 + 6/20 – 3/20

p(AUB)=13/20,  ou   p(AUB)=65%

Prof; Edson

                      

Exercícios proposto

1. Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Retirando-se ao acaso uma bolinha da urna, qual a probabilidade de essa bolinha ter um número múltiplo de 4 ou de 3?

2. De uma reunião participam 200 profissionas, sendo 60 médicos, 50 dentistas, 32 enfermeiras e os demais nutricionistas. Escolhidos ao acaso um elemento do grupo, qual é a probabilidde de ele ser médico ou dentista.

PROBABILIDADE CONDICIONAL

  Considerando os eventos de A e B de um espaço amostral S, define-se como probabilidade condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B e indicado por p(A/B), a razão:

p(A/B) = p(A∩B)/p(B)

Exemplo:

No lançamento de 2 dados, observando as faces de cima, para calcular a probabilidade de sair o número 5 no primeiro dado, sabendo que a soma dos dois números é maior que 7?

S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
     (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
     (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

Evento A: número 5 no primeiro dado.
A = {(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}

Evento B: a soma dos dois números é maior que 7.

B={(2,6),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
    (6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

A∩B = {(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}
p(A∩B)= 4/36
p(B)=15/36
p(A/B)=p(A∩B)/p(B)

p(A/B)= (4/36)/(15/36) = 4/15 ou   p(A/B)=26,6%

Reinaldo