Apresentação de Software

software que calcula arranjos e permutações.
http://www.superdownloads.com.br/download/173/analise-combinatoria/

O software trabalha na resolução de permutação, arranjos e combinações facilitando os calculos.
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/9690



Reinaldo

Endereços da tarefas individuais

Edson:
antunesantunes.webnode.com.br
Claudia:
claudiamartinuci98.blogfacil.net
Reinaldo:
reinaldosimonelli.blogspot.com

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Aula Inaugural:Texto sobre o conteúdo de análise combinátoria

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar.

ARRANJO:

São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.

Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: A_s(m,p) = m!/(m-p)!

Cálculo para o exemplo: A_s(4,2) = 4!/2!=24/2=12.

Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

A_s={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

PERMUTAÇÃO:

Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.

Fórmula: P_s(m) = m!.

Cálculo para o exemplo: P_s(3) = 3!=6.

Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

P_s={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

COMBINAÇÃO:

Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie.

Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]

Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

C_s={AB,AC,AD,BC,BD,CD}

REGRAS SOBRE ANÁLISE COMBINATÓRIA:

Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.

Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.

Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Claudia

PROBABILIDADES

Probabilidades e informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do contexto.que representa uma série de eventos futuros cuja ocorrência é definida por alguns fenômenos físicos aleatórios. Este conceito pode ser dividido em fenômenos físicos que são previsíveis através de informação suficiente e fenômenos que são essencialmente imprevisíveis.

 EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS

     Consideramos experimentos aleatório os fenômenos que apresentam resultados imprevisíveis quando repetidos, mesmo que as condições sejam semelhantes.
Exemplos:
a) Lançar 2 moedas e observar as faces voltadas para cima.
b) Retirar 1 carta de 1 baralho com 52 cartas e observar o seu naipe.
c) De uma urna contendo 4 bolas brancas e 5 vermelhas, retirar 1 bola e observar sua cor.

ESPAÇO AMOSTRAL

Exemplos:
Quando se lançam-se 2 moedas e se observam as faces voltadas para cima, sendo as faces da moeda cara(C) e coroa(K), o espaço amostral do experimento é:
S = {(c,c);(c,k);(k,k);(k,c)}
n(S)= é igual a 4.

EVENTO

Evento (E) é qualquer subconjunto de um espaço amostral S. Muitas vezes um evento pode ser caracterizado por um fato.
Exemplos:
1. No lançamento de 2 moedas:

E₁: aparecerem faces iguais

E₁: {(c,c),(k,k)}

Portanto, o número de elementos do evento E₁ é n(E₁) = 2

E₂: aparece cara em pelo menos 1 face

E₂: {(c,c),(c,k),(k,c)},  onde n(E₂) = 3

b) No lançamento não simultâneo de dois dados:

E₁: aparecem números iguais.

E₁= {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}, n(E₁) = 6

E₂: o primeiro número é menor ou igual a 2.

E₂= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}

EXERCÍCIO

No lançamento simultâneo de 3 moedas determine:
a) espaço amostral S,        sendo c=cara e k=coroa 
    S = { (c,c,c),(c,c,k),(c,k,c),(k,c,c),(c,k,k),(k,c,k),(k,k,c),(k,k,k)}

 

b) Evento E₁ sair duas caras e uma coroa.

E₁ = {(c,k,c),(c,c,k),(k,c,c)},    n(E₁)=3

c) evento E₂ sair três caras

E₂ = {(c,c,c)}, n(E₂)=1

d) evento E₃ sair pelo menos uma cara.

{(c,c,c),(c,k,c),(c,c,K),(k,c,c,),(c,k,k,),(k,c,k),(k,k,c)},  n(E₃)=7

e) evento E₄ sair no máximo duas coroas.

E₄ = {(c,k,c),(c,c,k),(k,c,c),(c,k,k),(,k,c,k),(k,k,c),(c,c,c)},  n(E₄)=7

PROBABILIDADES

Considerando um espaço amostral S, não-vazio, e um evento E contido em S a probabilidade de ocorrer o evento E é o número real p(E), tal que.

n(E) = n(E)/n(S)

n(E): números de elementos do evento E.

n(S): numero de elementos do espaço amostral S.

Exemplo.

Lançando-se um dado, qual a probabilidade de sair um numero ímpar na face voltada para cima?

S = {1,2,3,4,5,6},      n(S) = 6

E = {1,3,5},              n(E) = 3

p (E) = n(E)/n(S);       p(E)=3/6= ½ ou 50%

Exercícios

1. Um casal planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de os 3 serem do mesmo sexo?

2. João lança um dado sem que antonio veja. João diz que o número mostrado pelo dado é par. A probabilidade de Antonio descobrir esse número é?

a) 1/2          b)1/6          c)4/6          d)1/3           e)3/36 

UNIÃO DE DOIS EVENTOS

     Considerando A e B dois eventos contidos em um espaço amostral S, o número de elementos da reunião de A com B é igual ao número de elementos do evento A somado ao número de elementos de evento B, subtraido do número de elementos da intersecção de A com B.

n(AUB) = n(A) + N(B) – n(A∩B)

sendo n(S) o número de elementos do espaço amostral, vamos dividir os dois membros da equação por n(S) a fim de obter a probabilidade p(A   B).

p(AUB) = p(A) + p(B) – p(A∩B);

para um evento mutuamente exclusivo: p(AUB)= p(A) +p(B)

Exemplo

De uma urna com 20 bolinhas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bolinha. Qual a probabilidade dessa bolinha ter seu número divisível por 2 ou por 3?

S = { 1,2,3,...,20}

A: conjunto dos números divisíveis por 2.

A = { 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

B: conjunto dos números divisíveis por 3.

B = { 3;6;9;12;15;18}

A∩B: conjunto dos números divisíveis por 2 e 3.

(A∩B);= { 6,12,18}

p (A) = 10/20,  p(B)=6/20 e p(A∩B)=3/20

p(AUB)=10/20 + 6/20 – 3/20

p(AUB)=13/20,  ou   p(AUB)=65%

Prof; Edson

                      

Exercícios proposto

1. Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Retirando-se ao acaso uma bolinha da urna, qual a probabilidade de essa bolinha ter um número múltiplo de 4 ou de 3?

2. De uma reunião participam 200 profissionas, sendo 60 médicos, 50 dentistas, 32 enfermeiras e os demais nutricionistas. Escolhidos ao acaso um elemento do grupo, qual é a probabilidde de ele ser médico ou dentista.

PROBABILIDADE CONDICIONAL

  Considerando os eventos de A e B de um espaço amostral S, define-se como probabilidade condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B e indicado por p(A/B), a razão:

p(A/B) = p(A∩B)/p(B)

Exemplo:

No lançamento de 2 dados, observando as faces de cima, para calcular a probabilidade de sair o número 5 no primeiro dado, sabendo que a soma dos dois números é maior que 7?

S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
     (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
     (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

Evento A: número 5 no primeiro dado.
A = {(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}

Evento B: a soma dos dois números é maior que 7.

B={(2,6),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
    (6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

A∩B = {(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}
p(A∩B)= 4/36
p(B)=15/36
p(A/B)=p(A∩B)/p(B)

p(A/B)= (4/36)/(15/36) = 4/15 ou   p(A/B)=26,6%

Reinaldo

Apresentação de Análise Combinatória
http://www.youtube.com/watch?v=SYVXRkhAK6w&feature=related

Arranjos e Permutações
http://www.youtube.com/watch?v=SYVXRkhAK6w&feature=related

Apresentação de Probabilidades
http://www.youtube.com/watch?v=05m5BRVw7P8&feature=related


Prof. Claudia

EXERCICIOS

Assunto: Problemas simples envolvendo as operações matemáticas

Maria possui 3 blusas de cores diferentes, 4 saias de cores diferentes e 2 botas de cores diferentes. De quantos modos diferentes Maria pode se vestir combinando essas blusas, essas saias e essas botas?

a)    9

b)   12

c)   18

d)   24

Maria pode combinar, 3. 4 . 2 = 24 modos diferentes.

João foi com sua mãe à uma lanchonete que tinha as seguintes opções: refrigerante, salgado, bolo, torta e chocolate. João queria comprar um item de cada, mas sua mãe não tinha dinheiro para comprar as cinco opções e deixou-o comprar somente três. João ficou com uma dúvida cruel:  "Quais devo escolher?"

A quantidade de maneiras distintas que João poderia escolher três opções entre as cinco disponíveis é

a)    60.

b)    15.

c)    10.

d)    20.

e)    30.

 João podera escolher seu lanche de  C_5,3   maneiras, então:
 

C_5,3    = 5! / 3!(5-3)!

C_5,3    = 5!/ 3!2!

C_5,3   = 10 maneiras

Prof:Claudia

apresentação de análise combinatória
http://www.youtube.com/watch?v=znBlgt9FlYI&feature=fvst

análise combinatória, principio de contagem.
http://www.youtube.com/watch?v=iZm42lLur7A&feature=related

prof Edson

COMBINAÇÃO SIMPLES

Dado um conjunto de n objetos podemos formar subconjuntos com os elementos

C_n,p = n!/p!(n-p)!

Exemplo 1.

Em uma classe de 20 alunos, o professor deseja montar grupos de 5 para trabalhar no laboratório. Quantos grupos distintos poderá formar?

o professor pode montar seus grupos de 

C_20,5 = 20!/5!(20-5)!

= 20!/5!15!

=20.19.18.17.16.15!/ 5.4.3.2.1. 15!

=15504 grupos.

Exemplo 2

Dados 6 alunos e 5 professores, de quantos modos podemos formar uma comissão com 4 pessoas de modo que:

a) em cada comissão figurem extamente 2 professores?

  Se em cada comissão deve ter exatamente 2 professores, terá tambem extamente 2 alunos; logo.

número de modos de escolher 2 professores:  C_5,2

número de escolher 2 alunos:  C_6,2 

número de modos de  formar a comissão:  C_5,2 . C_6,2  = 10.15 = 150 comissões

Prof. Edson

ANAGRAMAS

Anagrama

O anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma palavra ou frase, com o intuito de formar outras palavras com ou sem sentido. É calculado através da propriedade fundamental da contagem, utilizando o fatorial de um número de acordo com as condições impostas pelo problema. 

Situação 01 

Vamos determinar os anagramas da palavra: 

a) ESCOLA 
A palavra possui 6 letras, dessa forma, basta determinarmos o valor de 6! (seis fatorial). 
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 

b) ESCOLA que inicia com E e termina com A. 
E ___ ___ ___ ___ A 
Vamos permutar as 4 letras não fixas. 
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 


Situação 02

a) Determinar os anagramas da palavra REPÚBLICA. 
A palavra possui 9 letras, então devemos calcular 9!. 
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362.880 

b) REPÚBLICA que inicia com R e termina com A. 
R ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ A 
Vamos permutar as 7 letras não fixadas. 
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 


Situação 03

Determinar os anagramas da palavra CONQUISTA, que tem as letras CON juntas e na mesma ordem: C O N ___ ___ ___ ___ ___ ___ . 
Temos 6 letras não fixadas que permutarão entre si, e a expressão CON que se unirá às permutações. 
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 


Situação 04 

A palavra MATEMÁTICA é formada por 10 letras. Determine o número possível de anagramas dessa palavra. 
Temos 10 letras que serão permutadas entre si, portanto: 

10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800 

A palavra MATEMÁTICA possui 3.628.800 anagramas. 

Situação 05

Quantas palavras de 3 letras podemos formar com as letras O, L e A? Quais são essas palavras? As palavras não precisam necessariamente terem siginificado. 

A quantidade de palavras será dada por 3! 
3 * 2 * 1 = 6 palavras 

As palavras são: 

OLA 
OAL 
ALO 
AOL 
LOA 
LAO

Até a próxima pessoal....

Prof. Reinaldo

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, é responsável  pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios  que são resolvidos utilizando análise combinatória. 

Se quiserem saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. 

Exemplo, uma pessoa possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória. 

Para efetuar os cálculos desses problemas devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória, tais como: 

- Princípio fundamental da contagem;
- Fatorial;
- Arranjos simples;
- Permutação simples;
- Combinação;
- Permutação com elementos repetidos.

A análise combinatória é um dos tópicos que a matemática é dividida, responsável pelo estudo de critérios para a representação da quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-los. 

Exemplo, para um problema de análise combinatória e como montamos os seus agrupamentos. 

Dado o conjunto B dos algarismos B = { 1,2,3,4}. Qual a quantidade de números naturais de 3 algarismos que podemos formar utilizando os elementos do grupo B? 

Esse é um tipo de problema de análise combinatória, pois teremos que formar agrupamentos, nesse caso formar números de 3 algarismos, ou seja, formar agrupamentos com os elementos do conjunto B tomados de 3 em 3. 

Veja como resolveríamos esse problema sem a utilização de critérios ou fórmulas que o estudo da análise combinatória pode nos fornecer. 

Esse esquema construído acima representa todos os números naturais de 3 algarismos que podemos formar com os algarismos 1,2,3,4, portanto, concluindo que é possível formar 24 agrupamentos. 

Para se determinar essa quantidade de agrupamentos possíveis não é necessário montar todo esse esquema, basta utilizar do estudo da análise combinatória que divide os agrupamentos em Arranjos simples, Combinações simples, Permutações simples e Permutações com elementos repetidos. Cada uma dessas divisões possui uma fórmula e uma maneira diferente de identificação, que iremos estudar nessa seção. 

Prof. Reinaldo