software que calcula arranjos e permutações.
http://www.superdownloads.com.br/download/173/analise-combinatoria/
O software trabalha na resolução de permutação, arranjos e combinações facilitando os calculos.
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/9690
Reinaldo
quinta-feira, 9 de dezembro de 2010
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Aula Inaugural:Texto sobre o conteúdo de análise combinátoria
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.
Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar.
ARRANJO:
São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.
Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
PERMUTAÇÃO:
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!.
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
COMBINAÇÃO:
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie.
Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
REGRAS SOBRE ANÁLISE COMBINATÓRIA:
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.
Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.
Claudia
quarta-feira, 8 de dezembro de 2010
PROBABILIDADES
Probabilidades e informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do contexto.que representa uma série de eventos futuros cuja ocorrência é definida por alguns fenômenos físicos aleatórios. Este conceito pode ser dividido em fenômenos físicos que são previsíveis através de informação suficiente e fenômenos que são essencialmente imprevisíveis.
EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
Consideramos experimentos aleatório os fenômenos que apresentam resultados imprevisíveis quando repetidos, mesmo que as condições sejam semelhantes.
Exemplos:
a) Lançar 2 moedas e observar as faces voltadas para cima.
b) Retirar 1 carta de 1 baralho com 52 cartas e observar o seu naipe.
c) De uma urna contendo 4 bolas brancas e 5 vermelhas, retirar 1 bola e observar sua cor.
ESPAÇO AMOSTRAL
Exemplos:
Quando se lançam-se 2 moedas e se observam as faces voltadas para cima, sendo as faces da moeda cara(C) e coroa(K), o espaço amostral do experimento é:
S = {(c,c);(c,k);(k,k);(k,c)}
n(S)= é igual a 4.
EVENTO
Evento (E) é qualquer subconjunto de um espaço amostral S. Muitas vezes um evento pode ser caracterizado por um fato.
Exemplos:
1. No lançamento de 2 moedas:
Exercícios proposto
1. Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Retirando-se ao acaso uma bolinha da urna, qual a probabilidade de essa bolinha ter um número múltiplo de 4 ou de 3?
2. De uma reunião participam 200 profissionas, sendo 60 médicos, 50 dentistas, 32 enfermeiras e os demais nutricionistas. Escolhidos ao acaso um elemento do grupo, qual é a probabilidde de ele ser médico ou dentista.
EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
Consideramos experimentos aleatório os fenômenos que apresentam resultados imprevisíveis quando repetidos, mesmo que as condições sejam semelhantes.
Exemplos:
a) Lançar 2 moedas e observar as faces voltadas para cima.
b) Retirar 1 carta de 1 baralho com 52 cartas e observar o seu naipe.
c) De uma urna contendo 4 bolas brancas e 5 vermelhas, retirar 1 bola e observar sua cor.
ESPAÇO AMOSTRAL
Exemplos:
Quando se lançam-se 2 moedas e se observam as faces voltadas para cima, sendo as faces da moeda cara(C) e coroa(K), o espaço amostral do experimento é:
S = {(c,c);(c,k);(k,k);(k,c)}
n(S)= é igual a 4.
EVENTO
Evento (E) é qualquer subconjunto de um espaço amostral S. Muitas vezes um evento pode ser caracterizado por um fato.
Exemplos:
1. No lançamento de 2 moedas:
E1: aparecerem faces iguais
E1: {(c,c),(k,k)}
Portanto, o número de elementos do evento E1 é n(E1) = 2
E2: aparece cara em pelo menos 1 face
E2: {(c,c),(c,k),(k,c)}, onde n(E2) = 3
b) No lançamento não simultâneo de dois dados:
E1: aparecem números iguais.
E1= {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}, n(E1) = 6
E2: o primeiro número é menor ou igual a 2.
E2= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)}
EXERCÍCIO
No lançamento simultâneo de 3 moedas determine:
a) espaço amostral S, sendo c=cara e k=coroa
S = { (c,c,c),(c,c,k),(c,k,c),(k,c,c),(c,k,k),(k,c,k),(k,k,c),(k,k,k)}
EXERCÍCIO
No lançamento simultâneo de 3 moedas determine:
a) espaço amostral S, sendo c=cara e k=coroa
S = { (c,c,c),(c,c,k),(c,k,c),(k,c,c),(c,k,k),(k,c,k),(k,k,c),(k,k,k)}
b) Evento E1 sair duas caras e uma coroa.
E1 = {(c,k,c),(c,c,k),(k,c,c)}, n(E1)=3
c) evento E2 sair três caras
E2 = {(c,c,c)}, n(E2)=1
d) evento E3 sair pelo menos uma cara.
{(c,c,c),(c,k,c),(c,c,K),(k,c,c,),(c,k,k,),(k,c,k),(k,k,c)}, n(E3)=7
e) evento E4 sair no máximo duas coroas.
E4 = {(c,k,c),(c,c,k),(k,c,c),(c,k,k),(,k,c,k),(k,k,c),(c,c,c)}, n(E4)=7
PROBABILIDADES
Considerando um espaço amostral S, não-vazio, e um evento E contido em S a probabilidade de ocorrer o evento E é o número real p(E), tal que.
n(E) = n(E)/n(S)
n(E): números de elementos do evento E.
n(S): numero de elementos do espaço amostral S.
Exemplo.
Lançando-se um dado, qual a probabilidade de sair um numero ímpar na face voltada para cima?
S = {1,2,3,4,5,6}, n(S) = 6
E = {1,3,5}, n(E) = 3
p (E) = n(E)/n(S); p(E)=3/6= ½ ou 50%
Exercícios
1. Um casal planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de os 3 serem do mesmo sexo?
2. João lança um dado sem que antonio veja. João diz que o número mostrado pelo dado é par. A probabilidade de Antonio descobrir esse número é?
a) 1/2 b)1/6 c)4/6 d)1/3 e)3/36
UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Considerando A e B dois eventos contidos em um espaço amostral S, o número de elementos da reunião de A com B é igual ao número de elementos do evento A somado ao número de elementos de evento B, subtraido do número de elementos da intersecção de A com B.
n(AUB) = n(A) + N(B) – n(A∩B)
sendo n(S) o número de elementos do espaço amostral, vamos dividir os dois membros da equação por n(S) a fim de obter a probabilidade p(A B).
p(AUB) = p(A) + p(B) – p(A∩B);
para um evento mutuamente exclusivo: p(AUB)= p(A) +p(B)
Exemplo
De uma urna com 20 bolinhas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bolinha. Qual a probabilidade dessa bolinha ter seu número divisível por 2 ou por 3?
S = { 1,2,3,...,20}
A: conjunto dos números divisíveis por 2.
A = { 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: conjunto dos números divisíveis por 3.
B = { 3;6;9;12;15;18}
A∩B: conjunto dos números divisíveis por 2 e 3.
(A∩B);= { 6,12,18}
p (A) = 10/20, p(B)=6/20 e p(A∩B)=3/20
p(AUB)=10/20 + 6/20 – 3/20
p(AUB)=13/20, ou p(AUB)=65%
Prof; Edson
Exercícios proposto
1. Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Retirando-se ao acaso uma bolinha da urna, qual a probabilidade de essa bolinha ter um número múltiplo de 4 ou de 3?
2. De uma reunião participam 200 profissionas, sendo 60 médicos, 50 dentistas, 32 enfermeiras e os demais nutricionistas. Escolhidos ao acaso um elemento do grupo, qual é a probabilidde de ele ser médico ou dentista.
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Considerando os eventos de A e B de um espaço amostral S, define-se como probabilidade condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B e indicado por p(A/B), a razão:
p(A/B) = p(A∩B)/p(B)
Exemplo:
No lançamento de 2 dados, observando as faces de cima, para calcular a probabilidade de sair o número 5 no primeiro dado, sabendo que a soma dos dois números é maior que 7?
S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
Evento A: número 5 no primeiro dado.
A = {(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}
Evento B: a soma dos dois números é maior que 7.
B={(2,6),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
A∩B = {(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}
p(A∩B)= 4/36
p(B)=15/36
p(A/B)=p(A∩B)/p(B)
p(A/B)= (4/36)/(15/36) = 4/15 ou p(A/B)=26,6%
Reinaldo
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
Evento A: número 5 no primeiro dado.
A = {(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}
Evento B: a soma dos dois números é maior que 7.
B={(2,6),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
A∩B = {(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}
p(A∩B)= 4/36
p(B)=15/36
p(A/B)=p(A∩B)/p(B)
p(A/B)= (4/36)/(15/36) = 4/15 ou p(A/B)=26,6%
Reinaldo
Apresentação de Análise Combinatória
http://www.youtube.com/watch?v=SYVXRkhAK6w&feature=related
Arranjos e Permutações
http://www.youtube.com/watch?v=SYVXRkhAK6w&feature=related
Apresentação de Probabilidades
http://www.youtube.com/watch?v=05m5BRVw7P8&feature=related
Prof. Claudia
http://www.youtube.com/watch?v=SYVXRkhAK6w&feature=related
Arranjos e Permutações
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Apresentação de Probabilidades
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Prof. Claudia
EXERCICIOS
Assunto: Problemas simples envolvendo as operações matemáticas
Maria possui 3 blusas de cores diferentes, 4 saias de cores diferentes e 2 botas de cores diferentes. De quantos modos diferentes Maria pode se vestir combinando essas blusas, essas saias e essas botas?
a) 9
b) 12
c) 18
d) 24
João foi com sua mãe à uma lanchonete que tinha as seguintes opções: refrigerante, salgado, bolo, torta e chocolate. João queria comprar um item de cada, mas sua mãe não tinha dinheiro para comprar as cinco opções e deixou-o comprar somente três. João ficou com uma dúvida cruel: "Quais devo escolher?"
A quantidade de maneiras distintas que João poderia escolher três opções entre as cinco disponíveis é
a) 60.
b) 15.
c) 10.
d) 20.
e) 30.
João podera escolher seu lanche de C5,3 maneiras, então:
C5,3 = 5! / 3!(5-3)!
C5,3 = 5!/ 3!2!
C5,3 = 10 maneiras
Prof:Claudia
apresentação de análise combinatória
http://www.youtube.com/watch?v=znBlgt9FlYI&feature=fvst
análise combinatória, principio de contagem.
http://www.youtube.com/watch?v=iZm42lLur7A&feature=related
prof Edson
http://www.youtube.com/watch?v=znBlgt9FlYI&feature=fvst
análise combinatória, principio de contagem.
http://www.youtube.com/watch?v=iZm42lLur7A&feature=related
prof Edson
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