COMBINAÇÃO SIMPLES

Dado um conjunto de n objetos podemos formar subconjuntos com os elementos

C_n,p = n!/p!(n-p)!

Exemplo 1.

Em uma classe de 20 alunos, o professor deseja montar grupos de 5 para trabalhar no laboratório. Quantos grupos distintos poderá formar?

o professor pode montar seus grupos de 

C_20,5 = 20!/5!(20-5)!

= 20!/5!15!

=20.19.18.17.16.15!/ 5.4.3.2.1. 15!

=15504 grupos.

Exemplo 2

Dados 6 alunos e 5 professores, de quantos modos podemos formar uma comissão com 4 pessoas de modo que:

a) em cada comissão figurem extamente 2 professores?

  Se em cada comissão deve ter exatamente 2 professores, terá tambem extamente 2 alunos; logo.

número de modos de escolher 2 professores:  C_5,2

número de escolher 2 alunos:  C_6,2 

número de modos de  formar a comissão:  C_5,2 . C_6,2  = 10.15 = 150 comissões

Prof. Edson

ANAGRAMAS

Anagrama

O anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma palavra ou frase, com o intuito de formar outras palavras com ou sem sentido. É calculado através da propriedade fundamental da contagem, utilizando o fatorial de um número de acordo com as condições impostas pelo problema. 

Situação 01 

Vamos determinar os anagramas da palavra: 

a) ESCOLA 
A palavra possui 6 letras, dessa forma, basta determinarmos o valor de 6! (seis fatorial). 
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 

b) ESCOLA que inicia com E e termina com A. 
E ___ ___ ___ ___ A 
Vamos permutar as 4 letras não fixas. 
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 


Situação 02

a) Determinar os anagramas da palavra REPÚBLICA. 
A palavra possui 9 letras, então devemos calcular 9!. 
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362.880 

b) REPÚBLICA que inicia com R e termina com A. 
R ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ A 
Vamos permutar as 7 letras não fixadas. 
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 


Situação 03

Determinar os anagramas da palavra CONQUISTA, que tem as letras CON juntas e na mesma ordem: C O N ___ ___ ___ ___ ___ ___ . 
Temos 6 letras não fixadas que permutarão entre si, e a expressão CON que se unirá às permutações. 
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 


Situação 04 

A palavra MATEMÁTICA é formada por 10 letras. Determine o número possível de anagramas dessa palavra. 
Temos 10 letras que serão permutadas entre si, portanto: 

10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800 

A palavra MATEMÁTICA possui 3.628.800 anagramas. 

Situação 05

Quantas palavras de 3 letras podemos formar com as letras O, L e A? Quais são essas palavras? As palavras não precisam necessariamente terem siginificado. 

A quantidade de palavras será dada por 3! 
3 * 2 * 1 = 6 palavras 

As palavras são: 

OLA 
OAL 
ALO 
AOL 
LOA 
LAO

Até a próxima pessoal....

Prof. Reinaldo

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Análise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, é responsável  pela análise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercícios  que são resolvidos utilizando análise combinatória. 

Se quiserem saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. 

Exemplo, uma pessoa possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória. 

Para efetuar os cálculos desses problemas devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória, tais como: 

- Princípio fundamental da contagem;
- Fatorial;
- Arranjos simples;
- Permutação simples;
- Combinação;
- Permutação com elementos repetidos.

A análise combinatória é um dos tópicos que a matemática é dividida, responsável pelo estudo de critérios para a representação da quantidade de possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso desenvolvê-los. 

Exemplo, para um problema de análise combinatória e como montamos os seus agrupamentos. 

Dado o conjunto B dos algarismos B = { 1,2,3,4}. Qual a quantidade de números naturais de 3 algarismos que podemos formar utilizando os elementos do grupo B? 

Esse é um tipo de problema de análise combinatória, pois teremos que formar agrupamentos, nesse caso formar números de 3 algarismos, ou seja, formar agrupamentos com os elementos do conjunto B tomados de 3 em 3. 

Veja como resolveríamos esse problema sem a utilização de critérios ou fórmulas que o estudo da análise combinatória pode nos fornecer. 

Esse esquema construído acima representa todos os números naturais de 3 algarismos que podemos formar com os algarismos 1,2,3,4, portanto, concluindo que é possível formar 24 agrupamentos. 

Para se determinar essa quantidade de agrupamentos possíveis não é necessário montar todo esse esquema, basta utilizar do estudo da análise combinatória que divide os agrupamentos em Arranjos simples, Combinações simples, Permutações simples e Permutações com elementos repetidos. Cada uma dessas divisões possui uma fórmula e uma maneira diferente de identificação, que iremos estudar nessa seção. 

Prof. Reinaldo